Dấu của tam thức bậc hai

Đại số 10: Ban cơ bản
Đại số 10: Ban cơ bản
Tiết 40
Tiết 40
O
x
y
I




Đồ thị hàm số y=ax
2
+bx+c
O
x
y
I
2
b
a

4a

o
x
y
I
2
b
a

O
x
y
I
2
b
a

4a

Hình 1
Hình 2
Hình 3
O
x
y
I
2
b
a

4a

I
O
y
x
2
b
a

x
1
O x
y
2
b
a

4a

1
x
2
x
2
x
I
Hình 4
Hình 5
Hình 6
0
0
a >


<

0
0
a >


=

0
0
a >


>

0
0
a <


<

0
0
a <


=

0
0
a <


>


I. Định lí về dấu tam thức bậc hai
1. Tam thức bậc hai
Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức có dạng f(x)=ax
2
+bx+c
Trong đó a,b,c là các hệ số ,
0a
Ví vụ : f(x)=2x
2
-3x+5
g(x)=4-x
2

k(x)=(m-1)x
2
-2x-3 (
1)m

Chú ý
Chú ý
Nghiệm của phương trình ax
2
+bx+c=0 cũng là nghiệm của tam thức
bậc hai f(x)=ax
2
+bx+c
Các biểu thức

=b
2
-4ac
, hay
' '2
b ac =


a>0
a<0
Kết luận
O x
y
+
+
+
+
+
+
O
y
x
-
-
-
-
-
-
x
f(x)

+
cùng dấu với a
(af(x)>0 với mọi x)
x
f(x)

+
+
x
f(x)

+
-
Minh hoạ dấu của tam thức bậc hai khi
0 <


a>0
a<0
Kết luận
O x
y
+
+
+ +
+
+
O
y
x
-
-
-
-
-
-
x
f(x)

+
0
(af(x)>0 với mọi x
x
f(x)

+
+
x
f(x)

+
-
x
0
+
0
x
0
-
0
x
0
Cùng
dấu a
Cùng
dấu a
0
x
Minh hoạ dấu của tam thức bậc hai khi
0 =


a>0 a<0 Kết luận
0 x
y
+
+
+
+
+
-
-
-
-
1
x
2
x
0 x
y
1
x
2
x
+
+
+
+
-
-
-
-
x
f(x)

+
1
x
2
x
0 0Trái dấu
a
Cùng dấu
a
Cùng dấu
a
x
f(x)
1
x

2
x
+
0 0
+ - +
x
f(x)

1
x
2
x
+
0 0 -
-
+
Minh hoạ dấu của tam thức bậc hai khi
0 >


2. Dấu của tam thức bậc hai (SGK)
Định lí :
Cho f(x)=ax
2
+bx+c( a#0)
+ Nếu

< 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x
R
+ Nếu

=0 Thì f(x) luôn cùng dáu với a ,trừ x=
2
b
a

+ Nếu

>0 thì f(x) cùng dấu với a khi x nằm ngoài khoảng hai nghiệm , trái
Dấu với a khi x nằm trong khoảng hai nghiệm
( Chú ý : vai trò của biệt số

và
'

là như nhau )


3. Vận dụng
Ví dụ 1: Xét dấu các tam thức sau
a. f(x)=x
2
-2x+5
b. g(x)=-x
2
+2x-1
c. k(x)=2x
2
-3x+1
Bài giải:
a.

=-16<0
Hệ số a=1>0 nên f(x)>0 với mọi x
b.
'

=0
Hệ số a=-1<0 nên g(x)<0 với mọi x#1
c. Tam thức có hai nghiệm phân biệt x
1
=1; x
2
=1/2
Hệ số a=2>0 . Ta có bảng xét dấu k(x) như sau
x
k(x)

1/2
1
+
0
0
- +
+


Ví dụ 2:
Cho tam thức f(x)=2x
2
-6x+15 các khẳng định nào sau đây là đúng
a. f(x) luôn âm với mọi x
b. f(x) luôn dương với mọi x
c. f(x) luôn không âm với mọi x
d. f(x) luôn không dương với mọi x
Giải:
Chọn b vì
0 <
và a=2>0


Ví dụ 3:
Cho f(x)= -2x
2
+3x+5 f(x)<0 khi x thuộc vào khoảng nào dưới đây
a. (-1;
5
2
)
b.
5
( ; 1) ( ; )
2
+
c.
( ; 1)
d.
5
( ; )
2
+
x
f(x)

+
-1
5/2
0
0
+
- -
Giải:
Chọn c vì:


Ví dụ 4: Xét dấu biểu thức
2 2
( 16)( 5 6)A x x x= +
Giải:
Tam thức có hai nghiệm -4,4
2
16x
Tam thức x
2
-5x+6 có hai nghiệm là 2, 3
x
x
2
-16
x
2
-5x+6
A

-4
2 3 4
+
0
0
-
- -
++
0 0
-
+
+++
0
0
0
0
+
-
+
-
+

Xem chi tiết: Dấu của tam thức bậc hai