bài 3: Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng

Tiết 60
ứng dụng tích phân để
tính diện tích hình
phẳng

Nhắc lại định lí về mối liên hệ giữa diện tích hình
thang cong và tích phân?
Định lí: Cho hàm số y = f(x) liên tục, không âm trên
đoạn [a; b]. Diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ
thị hàm số y = f(x), trục Ox, đường thẳng x =a, x= b là:

=
b
a
dxxfS )(
?1

Nhóm 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = x
2
2x + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 3.
Nhóm 1: Tính diện tích hình tròn bán kính R
giới hạn bởi đường tròn có phương trình : x
2

+ y
2
= R
2
Nhóm 2: + Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm
số y = x
2
, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2.
+ Vẽ đồ thị hàm số y = - x
2
từ đó so sánh diện tích hình
thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = - x
2
trục hoành và hai đư
ờng thẳng x = 1, x = 2 vi kt qu trờn.
Nhóm 3: Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = x
3
3x
2
+ 6, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 3.
H1
Thực hiện các
bài tập sau:

Din tớch hỡnh trũn bỏn kớnh R l: S = 4S
trong ú S l din tớch hỡnh phng gii hn bi: th hm s
v hai ng thng x = 0 v x = R.
Ta cú:
dxxR'S
R
0
22

=
22
xRy =
4
R
0
2
2
t2sin
t
2
R
dt
2
t2cos1
RtdtcosR.tcosR
dxxR'S
22
2
0
2
2
0
R
0
22

=







+=
+
==
=



t x = Rsint, dx = Rcostdt.
x = 0 thỡ t = 0; x = R thỡ t = /2
)
2
;0t(tcosRtsinRRxR
22222







==
Vy S = 4S = R
2
N1
Quay li
Li gii
Xột ng trũn cú phng trỡnh: x
2
+ y
2
= R
2

x
y
N2
+ Din tớch hỡnh thang cong gii hn bi
th hm s y = x
2
, trc Ox v hai
ng thng x = 1, x = 2 l:
3
7
1
2
3
x
dxxS
3
2
1
2
1
=
==

3
7
+ Cn c vo hỡnh v nhn thy:
Din tớch hỡnh thang cong gii hn
bi th hm s y = - x
2
, trc Ox
v hai ng thng x = 1, x = 2 l:
S
2
= S
1
=
y = x
2
y = - x
2
Vy din tớch hỡnh thang cong gii
hn bi th hm s y = f(x) liờn
tc, õm trờn on [a;b], trc Ox v
hai ng thng x = a, x = b l gỡ?
Tip tc
Din tớch hỡnh thang cong gii hn bi
th hm s y = f(x) liờn tc, õm trờn
on [a;b], trc Ox v hai ng thng x
= a, x = b l:

=
b
a
dx)x(fS

Din tớch hỡnh thang cong gii hn bi
th hm s y = x
3
3x
2
+ 6 , trc Ox
v hai ng thng x = 1, x = 3 l:
N3
6
61
4
1
1827
4
81
1
3
x6x
4
x
dx)6x3x(S
3
4
2
3
1
3
3
=






+






+=








+=
+=

Quay li

N4
Din tớch hỡnh thang cong gii hn bi
th hm s y = x
2
2x + 1 , trc Ox
v hai ng thng x = 1, x = 3 l:
3
8
11
3
1
39
3
27
1
3
xx
3
x
dx)1x2x(S
2
3
3
1
2
4
=






+






+=








+=
+=

Quay li

x
y
Nhn xột:
Din tớch hỡnh phng gii hn bi
th cỏc hm s:
y = x
3
3x
2
+ 6 , y = x
2
-
2x + 1 v hai ng thng x = 1, x
= 3 l:
S = S
3
S
4
3
10
3
8
6 ==
Vy din tớch hỡnh phng
gii hn bi th cỏc hm
s
y = f(x), y = g(x) liờn tc
trờn on [a;b] v hai ng
thng x = a, x = b bng?
Tip tc
T kt qu ca nhúm 3 v nhúm
4, tớnh din tớch hỡnh phng gii
hn bi th cỏc hm s:
y = x
3
3x
2
+ 6 , y = x
2
- 2x + 1
v hai ng thng x = 1, x = 3 ?
y

=

x
3



3
x
2

+

6

y

=

x
2

-

2
x

+

1

dxxxdxxx )12()63(
3
1
22
3
1
3
++=


1. Mt s cụng thc cn nh
a) Din tớch hỡnh phng gii hn bi th hm s y = f(x) liờn
tc trờn on [a;b], trc honh v hai ng thng x = a, x = b
l:

=
b
a
dx)x(fS
b) Din tớch hỡnh phng gii hn bi th cỏc hm s y = f(x), y
= g(x) liờn tc trờn on [a;b] v hai ng thng x = a, x = b

=
b
a
dx)x(g)x(fS
Quay li

2. Mt s vớ d
Vớ d 1: Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi th hm s
y = x
3
1, trc tung, trc honh v ng thng x = 2.
Li gii:
t f(x) = x
3
1.
Ta cú: f(x) 0 trờn [0;1] v f(x) 0
trờn [1; 2]
Din tớch hỡnh phng cn tỡm l:
dx1xS
2
0
3

=
y
x
y = x
3
- 1
( ) ( )
dx1xdxx1
2
1
3
1
0
3

+=
2
7
4
11
4
3
=+=

Vớ d 2: Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi th cỏc hm
s: f
1
(x) = x
3
3x v f
2
(x) = x
Li gii:
Phng trỡnh honh giao im ca th hai hm s
f
1
(x) = x
3
3x v f
2
(x) = x l:
dxx4xS
2
2
3


=





=
=
=
==
2x
0x
2x
0x4xxx3x
33

+=

2
0
3
0
2
3
dx)xx4(dx)x4x(
0
2
4
x
x2
2
0
x2
4
x
4
22
4








+









=
844 =+=
Din tớch hỡnh phng cn tỡm l:
x
y
f
1
(x) =x
3
3x
f
2
(x) =x

3. Bi tp vn dng
Thc hin H1 v
H2 trong sỏch
giỏo khoa!
H1: Tỡm din tớch hỡnh phng gii hn bi th hm s: y = 4 x
2
,
ng thng x = 3, trc tung v trc honh.
H2 :Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi ng thng y = x + 2
v Parabol y = x
2
+ x - 2
H1: Gii:
t f(x) = 4 x
2
, f(x) 0 trờn [0; 2] v f(x) 0 trờn [2; 3] nờn:
3
23
)4()4(4
3
2
2
2
0
2
3
0
2
=+==

dxxdxxdxxS
H2: Gii:
PT honh giao im: x
2
+ x - 2 =

x + 2 <=> x = -2; x = 2. Vy:
3
32
dxx4S
2
2
2
==



Chỳ ý: + kh du giỏ tr tuyt i
trong cụng thc:
dx)]x(g)x(f[dx)x(g)x(fS
d
c
d
c

==
Gii phng trỡnh f(x) g(x) = 0 trờn on [a; b], gi s
pt cú cỏc nghim c, d (a c < d b).

Trờn tng on [a;c], [c;d], [d;b] thỡ f(x) g(x) khụng
i du.

Trờn mi on ú, chng hn trờn on [c; d], ta cú:
dxxgxfS
b
a

=
)()(
Ta thc hin nh sau:

Xem chi tiết: bài 3: Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng