Câu hỏi và bài tập ơn chương hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
CHƯƠNG I
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
§1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
A. L ƯỢNG G IÁC
I. Bảng giá trò lượng giác của các cung đặc biệt
Độ
Radian
0
0
0
30
0
6
π
45
0
4
π
60
0
3
π
90
0
2
π
180
0
π
sin 0
1
2
2
2
3
2
1 0
cos 1
3
2
2
2
1
2
0 - 1
tan 0
3
3
1 3 0
cot 3 1
3
3
0
Chú ý :
sinα ≤ 1 ⇔ -1 ≤ sinα ≤ 1, α tanα xác đònh khi α ≠
2
π
+ k (k Z)
cosα ≤ 1 ⇔ -1 ≤ cosα ≤ 1, α cotα xác đònh khi α ≠ k (k Z)
• sin(α + k2) = sinα
• cos(α + k2) = cosα
số chẵn lần
π
VD: sin(
α
+ 4
π
) = sin
α
• sin[α +(2k + 1)] = - sinα
• cos[α +(2k + 1)] = - cosα
số lẻ lần
π
VD: cos(
α
- 3
π
) = - cos
α
• tan(α + k) = tanα
• cot(α + k) = cotα
Khơng cần chú ý k chẵn
hay lẻ
1
sin
cos
0
Câu hỏi và bài tập ơn chương hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
II. Các hệ thức cơ bản
STT Công thức Điều kiện
1 sin
2
a + cos
2
a = 1 không
2
tana = a ≠
2
π
+ k , k Z
3 cota = a ≠ k , k Z
4 tana.cota = 1 a ≠ k
2
π
, k Z
5 1 + tan
2
a = a ≠
2
π
+ k, k Z
6 1 + cot
2
a = a ≠ k, k Z
III. Các công thức lượng giác
1) Công thức cộng
2) công thức nhân đôi
cos2a = cos
2
a – sin
2
a
= 2cos
2
a – 1
= 1 – 2sin
2
a
sin2a = 2sinacosa
=> sina.cosa =
1
2
sin2a
3) Công thức hạ bậc (nâng cung)
1) 1 + cos2a = 2cos
2
a => cos
2
a =
2
a2cos1
+
2) 1 – cos2a = 2sin
2
a => sin
2
a = =
2
a2cos1
−
2
cos(a + b) = cosacosb – sinasinb
cos(a - b) = cosacosb + sinasinb
sin(a + b) = sinacosb + sinbcosa
sin(a - b) = sinacosb – sinbcosa
tan(a + b) =
1
tan a tan b
tan a.tanb
+
−
tan(a - b) =
1
tan a tanb
tan a.tan b
−
+
Câu hỏi và bài tập ơn chương hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
4) Công thức biến đổi tổng thành tích - tích thành tổng
Các hệ quả
1) sina + cosa = sin(a + ) = cos(a - )
2) sina – cosa = sin(a - ) = - cos(a + )
3) cosa – sina = cos(a + ) = - sin(a - )
IV. Các cung liên kết
Cung đối
– a
Cung bù
- a
Cung phụ
2
π
- a
Cung sai khác
+ a
sin - sina
sina cosa
- sina
cos
cosa
- cosa
sina
- cosa
tan - tana - tana
cota
tana
cot - cota - cota tana
cota
Thần chú : “cos đối – sin bù – phụ chéo – sai khác
π
tang”
§2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
A. Kiến thức cần nhớ
1. Phương trình sinx = a
3
Tổng thành tích Tích thành tổng
1
cosa + cosb = 2coscos
cosacosb = [cos(a + b) +
cos(a – b)]
cosacosb = [cos(a + b) + cos(a – b)]
2
cosa - cosb = - 2sinsin sinasinb = - [cos(a + b) - cos(a – b)]
3
sina + sinb = 2sincos sinacosb = [sin(a + b) + sin(a – b)]
4
sina - sinb = 2cossin
cosasinb = [sin(a + b) - sin(a – b)]
> 1
Phương trình
vơ nghiệm
sinx = a
a khơng đổi được
về sin
của cung đặc biệt
1: pt có nghiệm
a đổi được về sin
của cung đặc biệt
sinu = sinv
1: pt có nghiệm
x arcsin a k2
x arcsin a k2
= + π
= π − + π
Câu hỏi và bài tập ơn chương hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
2. Phương trình cosx = a
*) Các trường hợp đặc biệt
sinx = 0
⇔
x = k
π
, k
∈
Z cosx = 0
⇔
x =
π
π
k
+
2
, k
∈
Z
sinx = 1
⇔
x =
π
π
2
2
k
+
, k
∈
Z
cosx = 1
⇔
x = k2
π
, k
∈
Z
4
a khơng đổi được
về cos
của cung đặc biệt
> 1
Phương trình
vơ nghiệm
cosx = a
1: pt có nghiệm
a đổi được về cos
của cung đặc biệt
cosu = cosv
x arccosa k2
= ± + π
Câu hỏi và bài tập ơn chương hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
sinx = -1
⇔
x = -
π
π
2
2
k
+
, k
∈
Z
cosx = -1
⇔
x =
π
+ k2
π
, k
∈
Z
3. Phương trình tanx = a
4. Phương trình cotx = a
*) Các trường hợp đặc biệt
tanx = 0
⇔
x = k
π
, k
∈
Z cotx = 0
⇔
x =
π
π
k
+
2
, k
∈
Z
Chú ý: Trong một cơng thức nghiệm, khơng được dùng đồng thời hai
đơn vị độ và radian.
B. Ví dụ và bài tập
VD1: Giải các phương trình sau:
a. sinx =
2
3
b. sin2x =
4
1
c. cos(2x +
4
π
)=
2
1
−
d. tan(x – 60
0
) =
3
1
e. cot(x -
3
π
)= 5 f. cos(x -75
0
) = -1
*g. tan3x = tanx *h. tan5x – cotx = 0
5
tanx = a
a khơng đổi được
về tang
của cung đặc biệt
x = arctana + k
a đổi được về tang
của cung đặc biệt
tanu = tanv
(u = v + k180
0
)
cotx = a
a khơng đổi được
về cơtang
của cung đặc biệt
x = arccota + k
a đổi được về cơtang
của cung đặc biệt
cotu = cotv
(u = v + k180
0
)
Câu hỏi và bài tập ơn chương hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Giải
a. sinx =
2
3
3
sinsin
π
=⇔
x
Zk
kx
kx
∈
+−=
+=
⇔
π
π
π
π
π
2
3
2
3
Zk
kx
kx
∈
+=
+=
⇔
π
π
π
π
2
3
2
2
3
Vậy nghiệm của phương trình là:
Zk
kx
kx
∈
+=
+=
π
π
π
π
2
3
2
2
3
b. sin2x =
4
1
Zk
kx
kx
∈
+−=
+=
⇔
ππ
π
2
4
1
arcsin2
2
4
1
arcsin2
Zk
kx
kx
∈
+−=
+=
⇔
π
π
π
4
1
arcsin
2
1
2
4
1
arcsin
2
1
Vậy nghiệm của PT là:
Zk
kx
kx
∈
+−=
+=
π
π
π
4
1
arcsin
2
1
2
4
1
arcsin
2
1
c. cos(2x +
4
π
)=
2
1
−
⇔
cos(2x +
4
π
)= cos
3
2
π
Zk
kx
kx
∈
+−=+
+=+
⇔
π
ππ
π
ππ
2
3
2
4
2
2
3
2
4
2
6
Câu hỏi và bài tập ơn chương hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Zk
kx
kx
∈
+−=
+=
⇔
π
π
π
π
24
11
24
5
Vậy nghiệm của Pt là:
Zk
kx
kx
∈
+−=
+=
π
π
π
π
24
11
24
5
d. tan(x – 60
0
) =
3
1
00
30tan)60tan(
=−⇔
x
Zkkx
∈+=−⇔
000
1803060
Zkkx
∈+=⇔
00
18090
Vậy nghiệm của Pt là:
Zkkx
∈+=
00
18090
e. cot(x -
3
π
)= 5
Zkkarcx
∈+=−⇔
π
π
5cot
3
Zkkarcx
∈++=⇔
π
π
5cot
3
Vậy nghiệm của Pt là:
Zkkarcx
∈++=
π
π
5cot
3
f. cot(x -75
0
) = -1
Zkkx
∈+−=−⇔
000
1804575
Zkkx
∈+=⇔
00
18030
Vậy nghiệm của Pt là:
Zkkx
∈+=
00
18030
g. tan3x = tanx
Điều kiện
Zk
kx
kx
∈
+≠
+≠
π
π
π
π
2
2
3
⇔
Zk
kx
kx
∈
+≠
+≠
π
π
ππ
2
36
Ta có
tan3x = tanx
⇔
3x = x +l
π
⇔
x = l
)(
2
Zl
∈
π
Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là:
x = m
π
(m
Z
∈
)
h. tan5x – cotx = 0
7
Câu hỏi và bài tập ơn chương hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Điều kiện
)(
2
5
Zk
kx
kx
∈
≠
+≠
π
π
π
⇔
)(
510
Zk
kx
kx
∈
≠
+≠
π
ππ
Ta có
. tan5x = cotx
⇔
tan5x = tan(
)
2
x
−
π
⇔
5x =
x
−
2
π
+ l
π
(l
∈
Z)
⇔
x =
12
π
+ l
6
π
(l
∈
Z)
Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là:
x =
12
π
+ l
6
π
(l
∈
Z)
Bài tập 1: Giải các phương trình sau:
a. cos(3x -
6
π
)= -
2
2
b. cos(x -2) =
5
2
c. cos(2x + 50
0
) =
2
1
d. (1+ 2sinx)(3- cosx)= 0 e. tan2x = tan
6
5
π
f. tan(3x -30
0
) = -
3
3
g. cot(4x -
6
π
)=
3
h. sin(3x- 45
0
) =
2
1
i. sin(2x +10
0
)= sinx
k. (cot
3
x
-1)(cot
2
x
+1)= 0 l. cos2x.cotx = 0 m. cot(
53
2
π
+
x
)= -1
n. sin(2x -15
0
) = -
2
2
p. sin4x =
3
π
q. cos(x + 3) =
3
2
r. cos2x cot(x -
4
π
)= 0 s. cos3x =
4
π
t. tan(
8
tan)
42
ππ
=−
x
u. cos3x – sin2x = 0 v. sin3x + sin5x = 0
Bài tập 2: Giải các phương trình sau:
a. sin(2x -1) = sin(x+3) b. sin3x= cos2x c. sin4x + cos5x = 0
d. 2sinx +
2
sin2x = 0 e. sin
2
2x + cos
2
3x = 1 f. sin3x + sin5x = 0
g. sin(2x +50
0
) = cos(x +120
0
) h. cos3x – sin4x = 0
*i. tan(x -
5
π
) + cotx = 0 *j. tan5x = tan3x
§3 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
8
Câu hỏi và bài tập ơn chương hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
A. Kiến thức cần nhớ
1. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.
Các phương trình dạng at + b = 0 (a
≠
0), với t là một trong các hàm
số lượng giác, là những phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.
Sử dụng các phép biến đổi lượng giác, có thể đưa nhiều phương trình
lượng giác về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.
2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.
Các phương trình dạng at
2
+ bt + c = 0 (a
≠
0), với t là một trong các
hàm số lượng giác, là những phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng
giác.
Có nhiều phương trình lượng giác có thể đưa về phương trình bậc hai
đối với một hàm số lượng giác bằng các phép biến đổi lượng giác.
3. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
Phương trình có dạng asinx + bcosx = c (1)
Cách giải
Chia hai vế phương trình (1) cho
22
ba
+
ta được
222222
cossin
ba
c
x
ba
b
x
ba
a
+
=
+
+
+
(2)
(vì
1)()(
2
22
2
22
=
+
+
+ ba
b
ba
a
)
Đặt
22
cos
ba
a
+
=
α
; sin
22
ba
b
+
=
α
Pt (2) trở thành: cos
α
.sinx + sin
α
.cosx =
22
ba
c
+
⇔
sin(x +
α
) =
22
ba
c
+
(3)
Phương trình (3) là phương trình lượng giác cơ bản.
Chú ý:
• Pt (1) có nghiệm
⇔
pt(3) có nghiệm
⇔
1
22
≤
+
ba
c
⇔
a
2
+ b
2
≥
c
2
Vậy phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi a
2
+ b
2
≥
c
2
.
• sinx
±
cosx =
2
sin(x
±
4
π
)
4. Phương trình asin
2
x + bsinx. cosx + ccos
2
x = d
Cách giải
Cách 1: (áp dụng cơng thức hạ bậc)
asin
2
x + bsinx. cosx + ccos
2
x = d
9
Câu hỏi và bài tập ơn chương hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
⇔
a.
2
2cos1 x
−
+ b.
2
2sin x
+ c.
2
2cos1 x
+
= d
⇔
bsin2x + (c – a)cos2x = 2d – a – c
Cách 2:
Nếu cosx = 0 khơng là nghiệm của phương trình thì ta chia hai vế của
phương trình cho cos
2
x
≠
0 ta được phương trình bậc hai:
a.tan
2
x + btanx + c = d.(1 + tan
2
x)
⇔
(a – d).tan
2
x + btanx + c – d = 0
B. Ví dụ và bài tập
VD1: Giải các phương trình sau:
a. 2sinx –
2
= 0 b. 2tanx – 5 = 0
c. (
3
cotx – 3)(2cosx –1) = 0 d. 2sin
2
x – sin2x = 0
Giải
a. 2sinx –
2
= 0
⇔
2sinx =
2
⇔
sinx =
2
2
⇔
sinx = sin
4
π
⇔
)(
2
4
2
4
Zk
kx
kx
∈
+−=
+=
π
π
π
π
π
⇔
)(
2
4
3
2
4
Zk
kx
kx
∈
+=
+=
π
π
π
π
Vậy nghiệm của phương trình là:
)(
2
4
3
2
4
Zk
kx
kx
∈
+=
+=
π
π
π
π
b. 2tanx – 5 = 0
⇔
2tanx = 5
⇔
tanx =
2
5
⇔
x = arctan
2
5
+ k
π
(k
∈
Z)
Vậy nghiệm của phương trình là: x = arctan
2
5
+ k
π
(k
∈
Z)
c. (
3
cotx – 3)(2cosx –1) = 0
⇔
=−
=−
)2(01cos2
)1(03cot3
x
x
(1)
⇔
3
cotx = 3
⇔
cotx =
3
⇔
cotx = cot
6
π
⇔
x =
6
π
+ k
π
(k
∈
Z)
(2)
⇔
2cosx =1
⇔
cosx =
2
1
⇔
cosx = cos
3
π
10
Câu hỏi và bài tập ơn chương hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
⇔
)(
2
3
2
3
Zk
kx
kx
∈
+−=
+=
π
π
π
π
Vậy nghiệm của phương trình là:
)(
2
3
2
3
6
Zk
kx
kx
kx
∈
+−=
+=
+=
π
π
π
π
π
π
d. 2sin
2
x – sin2x = 0
⇔
2sin
2
x – 2sinx.cosx = 0
⇔
2sinx(sinx – cosx) = 0
⇔
=−
=
0cossin
0sin
xx
x
⇔
=
=
xx
kx
cossin
π
⇔
−=
=
)
2
sin(sin xx
kx
π
π
⇔
)(
2
2
Zk
kxx
kx
∈
+−=
=
π
π
π
⇔
)(
4
Zk
kx
kx
∈
+=
=
π
π
π
Vậy nghiệm của phương trình là:
)(
4
Zk
kx
kx
∈
+=
=
π
π
π
Bài tập 1: Giải các phương trình sau:
a. 4sinx – 3 = 0 b. 3cotx +
3
= 0 c. 1 -
3
tan(5x + 20
0
) =0
d. 2cos3x + 1 = 0 e. sin(3x + 1)=
4
π
f. cos(x +
5
2
π
)=
3
π
g. (2cosx +
2
)(tan(x +10
0
) -
3
) = 0 h. sin2x.cos3x.(tan4x +1)= 0
i. 8sinx.cosx.cos2x =
3
j. sin2x +2cox = 0 k. tan(x +1) – 2008=0
l. 3tan
2
x +
3
tanx = 0 m. 4sin2x – sin
2
2x = 0 n.
3
- 2sin3x = 0
p. cot(x +
4
π
) = 1 q. cos
2
(x – 30
0
) =
4
3
r. 8cos
3
x – 1 = 0
Bài tập 2*: Giải các phương trình sau:
a. tan3x. tanx = 1 b. cot2x. cot(x +
4
π
) = -1 c.
0
2cos1
2sin
=
+
x
x
11
Câu hỏi và bài tập ơn chương hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
VD2: Giải các phương trình sau:
a. 2sin
2
x – 5sinx – 3 = 0 b. cot
2
2x – 4cot2x +3 = 0
c. 2cos
2
x +3sinx - 3 = 0 d. tan
4
x + 4tan
2
x - 5 = 0
Giải
a. 2sin
2
x – 5sinx – 3 = 0
Đặt t = sinx ( điều kiện -1
≤
t
≤
1) thay vào phương trình ta được:
2t
2
– 5t -3 = 0
−=
=
⇔
)(
2
1
)(3
nhânt
loait
Với t = -
2
1
ta được
sinx = -
2
1
⇔
sinx = sin(-
6
π
)
⇔
)(
2
6
7
2
6
Zk
kx
kx
∈
+=
+−=
π
π
π
π
Vậy nghiệm của phương trình là:
)(
2
6
7
2
6
Zk
kx
kx
∈
+=
+−=
π
π
π
π
b. cot
2
2x – 4cot2x + 3 = 0
⇔
=
=
32cot
12cot
x
x
⇔
2x k
(k Z)
4
2x arccot 3 k
π
= + π
∈
= + π
⇔
x k
8 2
(k Z)
1
x arccot 3 k
2 2
π π
= +
∈
π
= +
Vậy nghiệm của phương trình là:
x k
8 2
(k Z)
1
x arccot 3 k
2 2
π π
= +
∈
π
= +
c. 2cos
2
x + 3sinx - 3 = 0
⇔
2(1 – sin
2
x) + 3sinx – 3 = 0
⇔
2 – 2sin
2
x + 3sinx – 3 = 0
⇔
2sin
2
x – 3sinx + 1 = 0
12
Câu hỏi và bài tập ơn chương hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
⇔
=
=
2
1
sin
1sin
x
x
Với sinx = 1
⇔
x =
)(2
2
Zkk
∈+
π
π
Với sinx =
2
1
⇔
sinx = sin
6
π
⇔
)(
2
6
5
2
6
Zk
kx
kx
∈
+=
+=
π
π
π
π
Vậy nghiệm của pt là:
)(
2
2
2
6
5
2
6
Zk
kx
kx
kx
∈
+=
+=
+=
π
π
π
π
π
π
d. tan
4
x + 4tan
2
x - 5 = 0
⇔
−=
=
)(5tan
1tan
2
2
loaix
x
⇔
1tan
±=
x
⇔
)(
4
Zkkx
∈+±=
π
π
Vậy nghiệm của pt là:
)(
4
Zkkx
∈+±=
π
π
Bài tập 3: Giải các phương trình sau:
a. 3cos
2
x - 5cosx + 2 = 0 b. 4sin
2
x – 4sinx – 3 = 0
c. cot
2
x – 4cotx + 3 = 0 d. tan
2
x + (1 -
3
)tanx -
3
= 0
e. 5cos
2
x + 7sinx – 7 = 0 f. tan
4
x – 4tan
2
x + 3 = 0
g. sin
3
x + 3sin
2
x + 2sinx = 0 h. cos2x + 9cosx + 5 = 0
i. sin
2
2x – 2cos
2
x +
4
3
= 0 j. 4cos
4
2x – 7cos
2
2x + 3 = 0
STT Giải các phương trình sau: ĐS
1 cos
2
x - 2sin
2
x + 2 = 0
x k2
2
π
= + π
. CĐ NTT 07
2
4sin
2
x – 2(
3
-
2
)sinx -
6
= 0
2
x k2 ; x k2
3 3
π π
= + π = + π
KTĐN 04
3 cos4x – 2sin
2
x + 2 = 0. CĐXD số 2 05
x k ; x k
4 2 3
π π π
= + = ± + π
4 cos2x + cos
4
x – 2 = 0 x = k
π
. CĐTCKT IV 05
13
Câu hỏi và bài tập ơn chương hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
5
cos2x - 3cosx + 2
0
sin x
=
x k2
3
π
= ± + π
.
CĐ Y TẾ 1 05
VD3: Giải các phương trình sau:
a.
3
sinx + cosx = 2 b. cos3x – sin3x = 1
c. 3sin2x + 4cos2x = 5 d.
2
sinx – cosx = 3
Giải
a.
3
sinx + cosx = 2
Chia hai vế pt trên cho
2
2
13
+
= 2 ta được
2
3
sinx +
2
1
cosx = 1
⇔
cos
6
π
.sinx + sin
6
π
.cosx = 1
⇔
sin(x +
6
π
) = 1
⇔
x +
6
π
=
2
π
+ k2
π
⇔
x =
3
π
+ k2
π
Vậy ngiệm của phương trình trên là: x =
3
π
+ k2
π
b. cos3x – sin3x = 1
Chia hai vế pt trên cho
22
)1(1
−+
=
2
ta được
2
1
cos3x -
2
1
sin3x =
2
1
⇔
cos
4
π
cos3x - sin
4
π
sin3x =
2
1
⇔
cos(3x +
4
π
) =
2
1
⇔
cos(3x +
4
π
) = cos
4
π
⇔
+−=+
+=+
π
ππ
π
ππ
2
44
3
2
44
3
kx
kx
14
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét