Tài liệu Cơ học lý thuyết Phần 14 ppt

-207-
14.1.4. Bậc tự do của cơ hệ
Di chuyển khả dĩ của cơ hệ là có nhiều tuy nhiên mức đọ nhiều có hạn
chế. Trong số các di chuyển khả dĩ của cơ hệ có thể có một hay một số m di
chuyển cơ sở. Các di chuyển còn lại đợc biểu diễn qua các di chuyển cơ sở nói
trên. Các di chuyển cơ sở độc lập tuyến tính với nhau và đúng bằng thông số
định vị của cơ hệ tức là bằng số toạ độ suy rộng đủ. Ta goi các số di chuyển khả
dĩ cơ sở của hệ là số bậc tự do m của hệ.
Trong cơ cấu tay quay thanh truyền rõ ràng số bậc tự do m = 1, và có thể
chọn một trong hay à làm di chuyển cơ sở.
Số bậc tự do của hệ càng cao thì mức độ tuỳ ý của các di chuyển khả dĩ
càng lớn có thể xác định số bậc tự do của cơ hệ bằng biểu thức : m = r - s.
Trong đó r là số toạ độ d và s là số phơng trình liên kết.
14.1.5. Liên kết lý tởng - Lực suy rộng
14.1.5.1. Liên kết lý tởng
Nếu tổng cộng nguyên tố của phản lực liên kết trong mọi di chuyển khả dĩ
của cơ hệ đều triệt tiêu thì liên kết đặt lên cơ hệ đợc gọi là liên kết lý tởng.
Gọi
là phản lực liên kết tác dụng lên chất điểm M
k
N
r
k
; r
k
là véc tơ di
chuyển khả dĩ của chất điểm đó thì theo định nghĩa trên ta có :

=
=
n
1k
kk
0r.N
r
r
(14-1)
Trong thực tế nếu cần bỏ qua lực ma sát và tính đàn hồi của vật thể tạo
thành cơ hệ thì đa số các cơ hệ thoả mãn biểu thức trên vsf nh vậy chúng chịu
các liên kết lý tởng. Khi phải kể đến các lực ma sát và tính đàn hồi của vạt thể
ta vẫn dùng dợc khái niệm liên kết lý tởng trên đây nhng phải xem các lực do
ma sát hoặc do tính đàn hồi của vật thể tác dụng lên cơ hệ nh là các hoạt lực.
Vật rắn tuyệt đối tự do là một cơ hệ chịu liên kết lý tởng.

-208-
Quả vậy nếu ta xét một cặp chất điểm M, N bất kỳ trong vật thì lực tác
dụng tơng hỗ giữa chúng là F, F' với F = -F'. Gọi r và r' là các véc tơ di
chuyển khả dĩ của chất điểm M, N, ta có :
(
)
'''
2
1k
kk
rrFrFr.FrN
rr
r
rr
r
r
r
+=+=

=
.
Theo động học vật rắn ta có :
MN
r
r
'

+=
r
r
nghĩa là :
MN
r
r
'

=



r
r
. Véc tơ MN có độ lớn không
đổi nên
(
)
'
rrMN
r
r
= vuông góc với
F
r
. Cuối cùng suy ra
()
0rr.F
'
=
r
r
r
,
hay
, điều này chứng tỏ vật rắn tự do là cơ hệ chịu liên kết lý tởng.

=
=
n
1k
kk
0rN
r
r
Hai vật rắn có bề mặt trơn nhẵn tiếp xúc với nhau tạo thành một cơ hệ chịu
liên kết lý tởng.
Cũng dễ dàng nhận thấy hai vật rắn có bề mặt trơn nhẵn tiép xúc với nhau
tạo thành một cơ hệ chịu liên kết lý tởng.
Dây mềm không dãn vắt qua ròng rọc khi bỏ qua sự trợt của dây và bỏ
qua ma sát ổ trục cũng là một cơ hệ chịu liên kết lý tởng.
14.1.5.2. Lực suy rộng
Xét cơ hệ N chất điểm, có m toạ độ suy rộng đủ q
1
q
2
q
m
. Biểu thức tổng
công của các hoạt lực trong một di chuyển khả dĩ nào đó của cơ hệ có thể viết:


==
=
n
1k
n
1k
k
a
k
a
k
rFA
r
r
. (a)
Trong đó
a
k
F
r
là tổng các hoạt lực tác dụng lên chất điểm M
k
; r
k
là di
chuyển khả dĩ của chất điểm M
k
tại vị trí đang xét.
Biểu diễn véc tơ định vị
r
r
k
và di chuyển khả dĩ
r
r
k
qua các toạ độ suy
rộng ta có :

()
m21kk
q., qqrr
r
r
=
;

-209-

m
m
k
2
2
k
1
1
k
k
q
q
r
q
q
r
q
q
r
r


+


+


=
r
r
r
r
.
Thay kết quả vào biẻu thức (a) ở trên ta đợc


==











+


+


=
N
1k
N
1k
m
m
k
2
2
k
1
1
k
k
a
k
q
q
r
q
q
r
q
q
r
FA
r
r
r
r


m
m
k
N
1k
a
k2
2
k
N
1k
a
k1
1
k
N
1k
a
k
q
q
r
F q
q
r
Fq
q
r
F


+


+


=

===
r
r
r
r
r
r


=
=++
n
1j
jjnn2211
qQqQ qQqQ
Đại lợng
j
k
N
1k
a
kj
q
r
FQ


=

=
r
r
đợc gọi là lực suy rộng tơng ứng với toạ độ
suy rộng q
j
.
Ta có định nghĩa : Lực suy rộng Q
j
ứng với toạ độ suy rộng q
j
là đại lợng
vô hớng biểu thị bằng hệ số của biến phân tơng ứng trong biểu thức tổng công
của các hoạt lực tác dụng lên cơ hệ trong di chuyển khả dĩ bất kỳ của cơ hệ đó.
Bản chất vật lý của lực suy rộng phụ thuộc vào bản chất vật lý của toạ độ
suy rộng tơng ứng. Chẳng hạn ta thờng gặp :
Toạ độ suy rộng q
j
là độ dài thì Q
j
là lực; là góc quay thì Q
j
là mô men lực
; q
j
là điện lợng thì Q
j
là điện thế. q
j
là điện thế thì Q
j
là điện lợng.
Trong thực hành để xác định lực suy rộng Q
j
ta có phơng pháp sau đây.
Cho hệ một di chuyển khả dĩ với
q
j
còn các biến phân khác của toạ độ suy
rộng cho bằng không, sau đó tính công của các lực trong di chuyển đố của hệ.
Theo định nghĩa trên ta có :



==
=
N
1k
n
1j
jj
a
k
qQA
Vì các biến phân
q q
j
đều triệt tiêu nên biểu thức trên viết đợc :

-210-



==
=
N
1k
n
1j
jj
a
k
qQA
Từ đây suy ra biếu thức xác định lực suy rộng Q
j
;

j
N
1k
a
k
j
q
A
Q


=

=

Thí dụ 14.1 : Xác định lực suy rộng tơng ứng với toạ độ suy rộng của hệ
con lắc vật lý kép biểu diễn trên hình (14-5). Cho biết trọng lợng của mỗi con
lắc đều bằng P và đặt tại điểm giữa C1, Chứng từ của các con lắc ; Độ dài của
mỗi con lắc là 1.
O
x
y


C
2
C
1

A
P
2
P
1

2

1
Bài giải :
Chọn toạ độ suy rộng đủ của hệ là các góc

1

2

nh trên hình vẽ. Gọi các lực tơnh ứnh là Q
1
, Q
2
. Trớc
hết xác định Q
1
, ta cho hệ một di chuyển khả dĩ sao cho

1
0 còn
2
= 0. Công của các hoạt lực P
1
, P
2
trong di
chuyển đó tính đợc :
H
ình 14.5

=
=
k
11211
a
k
sinlP,sin
2
1
.PA ;
1111
Qsinl
2
Pl3
==
.
Suy ra :
11
sinl
2
Pl3
Q = .
Để tính Q
2
cho hệ một di chuyển khả dĩ với
1
= 0 còn
2
0. Khi đó
chỉ có con lắc AB di chuyển và công của hoạt lực trong di chuyển này là :
2222222
N
1k
a
k
Qsin
2
1
.Psin
2
1
.PA ===

=
.
Suy ra :
= sin
2
1
.PQ
2
.

-211-
14.2.1. Nguyên lý di chuyển khả dĩ
Khi cơ hệ chịu liên kết dừng và lý tởng thì điều kiện cần và đủ để nó cân
bằng tại vị trí đang xét là tổng công của các hoạt lực trong mọi di chuyển khả dĩ
của hệ tại vị trí đạng xét bằng không.

.

==
=
0r.FA
kka
N
1k
a
k
r
r
Trớc hết ta chứng minh điều kiện cần. Xét cơ hệ chịu liên kết dừng và lý
tởng. Giả sử ở vị trí đang xét hệ can bằng. Ta phải chứng minh điều kiện cần có
là

= 0r.F
kka
r
. Thật vậy, vì hệ cân bằng nên chất điểm M
k
trong hệ cũng cân
bằng. Nếu gọi
và là hoạt lực và phản lực liên kết tác dụng lên chất điểm khảo
sát ta sẽ có :
a
k
F
r
k
N
r
. 0NF
k
a
k
=+
rr
Cho hệ một di chuyển khả dĩ tại vị trí đang xét và gọi
k
r
r

là di chuyển của
chất điểm M
k
ta cũng có thể viết :
0r.Nr.F
kkk
a
k
=+
r
r
r
r
.
Viết cho cả hệ, nghĩa là cho k tiến từ 1 đến N sau đó cộng vế với vế của
các biểu thức sẽ đợc :
0r.Nr.F
k
N
1k
kk
N
1k
a
k
=+

==
r
r
r
r
.
Vì liên kết là lý tởng nên
0r.N
k
N
1k
k
=

=
r
r
do đó cần phải có

0r.F
k
a
k
=
r
r
.
Sau đây chứng minh điều kiện đủ.
Giả thiết cơ hệ thoả mãn điều kiện
0r.F
k
N
1k
a
k
=

=
r
r
ta phải chứng minh rằng
điều kiện này đủ để cho hệ tự cân bằng ở vị trí đang xét. Thật vậy nếu cơ hệ thoả
mãn điều kiện trên mà không cân bằng thì chứng tỏ nó phải khởi động tại vị trí
đang xét đó. Nh vậy biến thiên của hệ phải dơng. dT > 0. Theo định lý động
năng ta có :

-212-


+==
=
kk
N
1k
k
a
k
a
k
r.Nr.FdAdT
r
r
r
r
.
Với hệ chịu liên kết dừng thì di chuyển thực dr sẽ trùng với một trong các
di chuyển khả dĩ. Ta có
k
rdr
r

=
.
Thay vào biểu thức trên ta đợc :


==
>+=
N
1k
N
1k
kkk
a
.k
0r.NrFdT
r
r
r
r

Vì hệ chịu lực liên kết lý tởng nên :

.
0r.N
k
N
1k
k
=+

=
r
r
Chỉ còn lại :
.

=
>=
N
1k
k
a
.k
0rFdT
r
r
Điều này trái với giả thiết đã nêu, chứng tỏ cơ hệ không thể khởi động tại
vị trí đang xét nghĩa là khi thoả mãn điều kiện
0r.N
k
N
1k
k
=

=
r
r
thì chác chắn cơ hệ
sẽ cân bằng.
14.2.2. Phơng trình cân bằng tổng quát của cơ hệ không tự do
Từ điều kiện cân bằng
0r.N
k
N
1k
k
=

=
r
r
có thể thiết lập phơng trình tổng
quát cho cơ hệ dới hai dạng toạ độ Đề các và toạ độ suy rộng.
- Dạng toạ độ Đề các .
Gọi X
k
a
, Y
k
a
, Z
k
a
là hình chiếu của hoạt lực
a
k
F
r
và x
k
, y
k,
z
k
, là hình
chiếu của di chuyển
lên các trục toạ độ oxyz. Ta có thể viết phơng trình cân
bằng của hệ dới dạng phơng trình sau đây:
k
r
r

(

==
++==
N
1k
k
a
kk
a
kk
a
kk
N
1k
a
kk
zZyYxXr.FA
r
r
)
. (14-3)
Phơng trình này gọi là phơng trình cân bằng tổng quát của hệ dới dạng
toạ độ Đè các.
- Dạng toạ độ suy rộng.
Xét hệ có m toạ độ suy rộng đủ q
1
q
2
q
m
. Điều kiện cân bằng của hệ có
thể viết :

-213-

.

==
===
N
1k
jjk
N
1k
s
kk
0qQr.FA
r
r
Nếu hệ chịu liên kết hình học (hô nô nôm) thì các
q
j
là độc lập với nhau
và dễ dàng suy ra các điều kiện cân bằng sau đây :
Q1 = 0 ; Q2 = 0 ; Qm = 0. (14-4)
Các phơng trình (12-3) và (12-4) chính là điều kiện cân bằng tổng quát
của cơ hệ chịu liên kết dừng, hô nô nôm là lý tởng.
Sau đây là các bài toán thí dụ.
Thí dụ 14 .1
Xà kép gồm hai đoạn AC và chuyển động nối với nhau bằng khớp bản lề ở
C. Trên đoạn chuyển động có lực tập trung P tác dụng theo phơng vuông góc
với xà tại E. Xác định phản lực tại gối đỡ di động B. Kích thớc két cấu xà cho
trên hình (14-6a).

A
l
1

a
B
C
E D
N
B

b
l
2

A D
B
C

E

s
B

s
E

s
C

P





H
ình 14.6b
H
ình 14.6a

Bài giải :
Để xác định phản lực N
B
ta giải phỏng liên kết (gối tựa di động) tại B và
thay vào đó phản lực N
B
.
Cho hệ di chuyển khả dĩ với
S
B
, S
c
, S
cE
nh hình vẽ.
Phơng trình cân bằng tổng quát cho hệ viết đợc :
0S.PSNA
EBB
a
k
=
=

. Trong đó :
B
2
1
E
S
l
l
a
b
S = .Phơng trình cân bằng còn viết đợc :
0S
l
l
.
a
b
.PSN
B
2
1
BB
= hay 0
l
l
a
b
.PN
2
1
B
=

-214-
Suy ra :

2
1
B
l
l
a
b
.PN =
.
Kết quả cho ta giá trị dơng chứng tỏ chiều của phản lực N
B
chọn nh
hình vẽ là đúng.
Thí dụ 142: Cho cơ cấu chịu tác dụng các lực cân bằng biểu diễn trên
hình (14-7).
Xác dịnh độ biến dạng h của lò xo nếu cho Q = 100N; độ cứng lò xo c = 5N/cm;
r
1
= 20cm; r
2
= 40cm; r
3
= 10cm; OA = 50cm; = 30
0
; = 90
0
.
O
1

P

r
1

r
2

1

1

s
K


3

s
1

G
3

G
1

r
3

3
o
2



F
B
x

s
A

A
y
s
B



H
ình 1
4
.7
Q
Bài giải:
Xét hệ bao gồm vật D đến con trợt B. bỏ qua ma sát ở trục và mặt trợt
liên kết đặt lên hệ là dừng, một phía, hô nô nôm và lý tởng.
Hoạt lực tác dụng lên hệ gồm trọng lợng
P,G,G,Q
31
r
r
r
r
và các lực đàn hồi
F
r
của lò xo. Trong các lực trên chỉ có lực Q
r
và
F
r
là sinh công.
Cho hệ một di chuyển khả dĩ với
s là di chuyển của vật D làm cơ sở. Ta
có thể tìm đợc ci chuyển của điểm B nh sau :

-215-
Ta có :
1
1
r
s
=

Điểm tiếp xúc K giữa hai bánh răng 2 và 3 có di chuyển
s
1
với :
s
r
r
rs
1
2
111
== . di chuyển góc quay của bánh răng 3 sẽ là
31
21
3
rr
rs
=
.
Vì thanh O
3
A gắn với bánh răng A nên điểm A có di chuyển :
s
rr
r
l.AOs
31
2
33A
== .
Ta có thể xác định di chuyển của B thông qua
s
A
. Vì thanh AB chuyển
động song phẳng với P là tâm vận tốc tức thời nên suy ra :
A
B
s
s
PB
PA


=
, hay :
AB
s
PB
PA
a =
.
Trong tam giác APB ta có :
0
30cos
1
PA
PB
=
.
Nên :
s
30cosrr
r
s
0
31
2
B
= .
Thiết lập điều kiện cân bằng cho hệ nhờ nguyên lý di chuyển khả dĩ. Ta
có:

Thay F = c . h

== 0sFsQrF
Bkk
r
r
ta đợc :
0s
30cosrr
r
h.csQ
0
31
2
= .
Suy ra :
cm74,1
50.40.5
87,0.10.20.100
s
r
30cosrr
c
Q
h
2
0
31
===
.
Nh vậy hệ cân bằng khi lò xo bị nén một đoạn h = 1,74cm.

-216-
Chơng 15
nguyên lý da lam be
15.1. Lục quán tính và nguyên lý Da lam be đói với chất điểm
Xét chất điểm có khối lợng m chuyển động với gia tốc dới tác dụng
các của lực
(hình 15-1).
W
r
n21
F F,F
rrr
M
F
n

H
ình 15.1
F
2

F
1

F
qt
Phơng trình cơ bản của động lực học
viết cho chất điểm :

=
=++=
N
1i
in21
FF FFWm
r
rrrr
.
W
Chuyển các số hạng của phơng trình trên
sang một vế đợc :
()
0WmF
i
=+

rr
. (1)
Số hạng
(
)
Wm
r

có thứ nguyên của lực bằng tích số giữa khối lợng m
với gia tốc w, cùng phơng nhng ngợc chiều với gia tốc đợc gọi là lực quán
tính của chất điểm và ký hiệu là
qt
F
r
.
Ta có
.
WmF
qt
rr
=
Thay vào phơng trình (1) ta đợc :
0FF
N
1i
qti
=+

=
rr
.
Các lực

i
F
r
và lực đồng quy tại chất điểm vì vậy có thể viết :
qt
F
r
(
)
0F,F FF
qtn21
=
rrrr
. (15-1)
Biểu thức (15-1) biểu diễn nguyên lý Đa Lam Be cho chất điểm và đợc
phát biểu nh sau :
Khi chất điểm chuyển động, các lực thực sự tác dụng lên chất điểm (bao
gồm các hoạt lực và phản lực liên kết) cùng với lực quán tính của nó tạo thành
một hẹ klực cân bằng.

Xem chi tiết: Tài liệu Cơ học lý thuyết Phần 14 ppt