Tài liệu Giáo Trình Giải Tích 12 pptx

Giáo trình Giải tích 12 - Trang 5 - Soạn cho lớp LTĐH
41) Cho hàm số y = f(x) =
3
1
x
3
mx
2
+(m
2
m+1)x+1. Có giá trị nào của m để hàm số
đạt cực tiểu tại x = 1 không? Hd và kq : Sử dụng đkc,đkđ. Không
42) Cho hàm số y = f(x) =
3
1
x
3
mx
2
+(m+2)x1. Xác định m để hàm số:
a) Có cực trị. Kết quả: m <1 V m > 2
b) Có hai cực trị trong khoảng (0;+∞). Kết quả: m > 2
c) Có cực trị trong khoảng (0;+∞). Kết quả: m <2 V m > 2
43) Biện luận theo m số cực trị của hàm số y = f(x) = x
4
+2mx
2
2m+1.
Hd và kq : y’=4x(x
2
m)
 m ≤ 0: 1 cực đại x = 0
 m > 0: 2 cực đại x=
m±
và 1 cực tiểu x = 0
44) Định m để đồ thị (C) của hàm số y = f(x) =
1x
mxx
2
+
+−
có hai điểm cực trị nằm
khác phía so với Ox. Kết quả : m >
4
1
45) Định m để hàm số y = f(x) = x
3
6x
2
+3(m+2)xm6 có 2 cực trị và hai giá trị cực
trị cùng dấu. Kết quả :
4
17
−
< m < 2
46) Chứùng minh rằng với mọi m hàm số y = f(x) =2x
3
3(2m+1)x
2
+6m(m+1)x+1 luôn
đạt cực trị tại hai điểm x
1
và x
2
với x
2
x
1
là một hằng số.
47) Tìm cực trị của các hàm số :
a)
x
1
xy +=
. b)
6x2
4
x
y
2
4
++−=
. c) y =
21x
3
+−
48) Định m để hàm số có cực trị :
a)
2mxx3xy
23
−+−=
. Kết quả: m<3
b)
1x
2mmxx
y
22
−
−++−
=
. Kết quả: m<−2 V m>1
49) Định m để hàm số sau đạt cực đại tại x=1: y = f(x) =
3
x
3
mx
2
+(m+3)x5m+1.
Kết quả: m = 4
50) Cho hàm số : f(x)=
3
1
−
x
3
mx
2
+(m−2) x1. Định m để hàm số đạt cực đại tại x
2
,
cực tiểu tại x
1
mà x
1
< 1 < x
2
< 1. Kết quả: m>−1
51) Chứng minh rằng : e
x
≥ x+1 với ∀x∈|R.

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 6 - Soạn cho lớp LTĐH
III. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
52) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x)=x
2
2x+3. Kq:
R
Min
f(x) = f(1) = 2
53) Tìm giá trị lớùn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = x
2
2x+3 trên [0;3].
Kq:
]3;0[
Min
f(x)=f(1)=2 và
]3;0[
Max
f(x)=f(3)=6.
54) Tìm giá trị lớùn nhất của hàm số y = f(x) =
1x
4x4x
2
−
+−
với x<1.
Kết quả :
)1;(
Max
−∞
f(x) = f(0) = 4
55) Muốn xây hồ nước có thể tích V = 36 m
3
, có dạng hình hộp chữ nhật (không nắp)
mà các kích thước của đáy tỉ lệ 1:2. Hỏi: Các kích thước của hồ như thế nào để khi xây
ít tốn vật liệu nhất? Kết quả : Các kích thước cần tìm của hồ
nước là: a=3 m; b=6 m và c=2 m
56) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y =
1xx
x
24
2
++
. Kết quả :
R
Max
y = f(±1) =
3
1
57) Định m để hàm số y = f(x) = x
3
3(m+1)x
2
+3(m+1)x+1 nghịch biến trên
khoảng(1;0). Kết quả : m ≤
3
4
−

58) Tìm trên (C): y =
2x
3x
2
−
−
điểm M sao cho tổng các khoảng cách từ M đến hai trục
tọa độ là nhỏ nhất. Kết quả :M(0;
2
3
)
59) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y = 3 sinx – 4 cosx.
60) Tìm GTLN: y=−x
2
+2x+3. Kết quả:
R
Max
y=f(1)= 4
61) Tìm GTNN y = x – 5 +
x
1
với x > 0. Kết quả:
);0(
Min
±∞
y=f(1)= −3
62) Tìm GTLN, GTNN y = x – 5 +
2
x4 −
.
Kết quả:
522)2(fyMax
]2;2[
−==
−
;
7)2(fyMin
]2;2[
−=−=
−
63) Tìm GTLN, GTNN của hàm số y=2x
3
+3x
2
−1 trên đoạn






− 1;
2
1
Kết quả:
4)1(fyMax
]1;
2
1
[
==
−
;
1)0(fyMin
]1;
2
1
[
−==
−
64) Tìm GTLN, GTNN của:
a) y = x
4
-2x
2
+3. Kết quả:
R
Min
y=f(±1)=2; Không có
R
Max
y
b) y = x
4
+4x
2
+5. Kết quả:
R
Min
y=f(0)=5; Không có
R
Max
y
c)
2xcos
1xsin22
y
+
−
=
. Kết quả:
R
Min
y=
3
7
−
;
R
Max
y=1

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 7 - Soạn cho lớp LTĐH
d)
1xx
3x3x
y
2
2
++
++
=
. Kết quả:
R
Min
y=
3
1
;
R
Max
y=3
65) Cho hàm số
2xx
1x3
y
2
++
+
=
. Chứng minh rằng :
1y
7
9
≤≤−

66) Cho hàm số
( )
π∈α
+α−
α+−α
= ;0
1cosx2x
cosx2cosx
y
2
2
. Chứng minh rằng : −1≤ y ≤ 1
Hướng dẫn:y’=0 ⇔ 2sin
2
α . x
2
−2sin
2
α =0 ⇔ x=−1 V x=1. Tiệm cận ngang: y=1
Dựa vào bảng biến thiên kết luận −1≤ y ≤ 1.
67) Định x để hàm số sau đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất :
y =f(x)= lg
2
x +
2xlg
1
2
+
Hướng dẫn và kết quả : Txđ: (0; +∞ ) . Đặt t= lg
2
x, t≥0, ⇒ hàm số
y=g(t)=t+
2t
1
+
xác định trên [0; +∞), dùng đạo hàm đưa đến y’=0 ⇔
t=−3 ∉[0; +∞ ) V t=−1 ∉[0; +∞ ) ⇒ hàm số y=g(t) đồng biến trên
[0;+∞ ) ⇒
);0[
Min
+∞
g(t) = g(0) =
2
1
⇒
);0(
Min
+∞
f(x) = f(1) =
2
1
68) Tìm giá trị LN và giá trị NN của hàm số y=2sinx−
xsin
3
4
3
trên đoạn [0;π]
(Đề thi TNTH PT 2003
−
2004)
Kết quả:
];0[
Max
π
f(x)=f(π /4)= f(3π /4)=
3
22
;
];0[
Min
π
f(x)=f(0)=f(π )=0
IV. TÍNH LỒI, LÕM VÀ ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
69) Tìm các khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị các hàm số :
a) y = f(x) = x
4
6x
2
+1 b) y = f(x) =
x
4xx
2
+−
70) Định m để đồ thị (C
m
):y = f(x) = x
3
3(m1)x
2
+m
2
x3 nhận I(1;1) làm điểm uốn.
Kết quả: m = 2 .
71) Định m để đồ thị (C
m
):y = f(x) = x
4
6mx
2
+ 3
a) Có hai điểm uốn. Kết quả: m > 0
b) Không có điểm uốn. Kết quả: m ≤ 0
72) Chứng minh rằng đồ thị (C):
1xx
1x2
y
2
++
+
=
có 3 điểm uốn thẳng hàng. Viết phương
trình đường thẳng đi qua 3 điểm uốn này.
Hướng dẫn và kết quả:
(C) có 3 điểm uốn A(2;1), B(
2
1
;0), C(1;1).
→−→−
= AC
2
1
AB
⇒ A, B, C thẳng hàng.

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 8 - Soạn cho lớp LTĐH
Đường thẳng d qua A, B, C qua C(1;1) có hệ số góc
3
2
xx
yy
k
AC
AC
=
−
−
=
nên có
phương trình : y = k(x-x
C
)+y
C
=
3
2
(x-1)+1⇔ y=
3
2
x +
3
1
.
73) Tìm điểm uốn và xét tính lồi, lõm của (C):y = f(x) = x
2
3x+2
Kết quả: Lõm trên các khoảng (∞;1) và (2; +∞). Lồi trên khoảng (1;2).
Điểm uốn : I
1
(1;0) và I
2
(2;0)
74) a) Chứng minh rằng nếu (C): y = f(x) = ax
3
+bx
2
+cx+d (a≠0) cắt Ox tại 3 điểm cách
đều nhau thì điểm uốn của (C) nằm trên Ox.
b) Tìm m để (C
m
):y = x
3
3mx
2
+2m(m4)x+9m
2
m cắt trục hồnh tại 3 điểm cách
đều nhau (có hồnh độ lập thành một cấp số cộng).
Hướng dẫn và kết quả:
a) Cho y = 0⇔ ax
3
+bx
2
+cx+d = 0 có 3 nghiệm x
1
, x
2
, x
3
, lập thành cấp số cộng ⇒
2x
2
= x
1
+x
3
⇒ 3x
2
= x
1
+x
2
+x
3
=
a
b
−
⇒ x
2
=
a3
b
−
. Vậy điểm uốn I(x
2
;0)∈Ox.
b) Tìm I(m;m
2
m).
Điều kiện cần : I∈Ox ⇒ m
2
m = 0 ⇒ m = 0 V m = 1.
Điều kiện đủ : Chọn m = 1.
75) Tìm khoảng lồi, lõm và điểm uốn của (C) :
a) y=x
3
−3x
2
+2. b)
2x
4xx
y
2
+
+−
=
.
76) Chứng minh rằng đồ thị của các hàm số sau có phần lồi, lõm nhưng không có điểm
uốn:
a)
2x
1x
y
−
+
=
. b) y = x +
x
1
.
77) Tìm tham số để:
a) (C
m
) : y=x
3
−3x
2
+3mx+3m+4 nhận I(1;2) làm điểm uốn.
b) (C
a,b
) : y=ax
3
+bx
2
+x+1 nhận I(1;2) làm điểm uốn.
c) Biện luận theo m số điểm uốn của (C
m
) :y=x
4
+mx
2
+m−2 .
78) Tìm m để đồ thị (C
m
):y = f(x) = x
3
3x
2
9x+m cắt Ox tại 3 điểm theo thứ tự có
hồnh độ lập thành cấp số cộng. Kết quả : m = 11.
79) Tìm điều kiện của a và b để đường thẳng (d): y = ax+b cắt đồ thị (C) :
y=x
3
3x
2
9x+1 tại ba điểm phân biệt A, B, C và AB = BC.
Hướng dẫn và kết quả :
• Lập phương trình hồnh độ giao điểm :
ax+b = x
3
3x
2
9x+1⇔ f(x) = x
3
3x
2
(a+9)x+1b = 0.(1)
• Điều kiện cần: Điểm uốn của đồ thị hàm số (1) là
I(1;ab10)∈Ox ⇒ ab10 = 0 ⇒ a+b = 10.
• Điều kiện đủ : a+b = 10 ⇒ f(x) = (x1).g(x) = 0 với
g(x) = x
2
2x+b1. YCBT ⇔



≠−=
>−=∆
02b)1(g
0b2
g
⇔ b<2

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 9 - Soạn cho lớp LTĐH
Kết luận :



<
−=+
2b
10ba
80) Viết phương trình đường thẳng đi qua 3 điểm uốn của đồ thị (C):y=
1x
1x
2
+
+
.
Kq:y =
4
3
x
4
1
+
81) Tìm m để (C
m
):y = x
3
3mx
2
+2m(m4)x+9m
2
m có điểm uốn :
a) Nằm trên đường thẳng (d) : y = x. Kết quả : m = 0 V m = 2 .
b) Đối xứng với M(3;6) qua gốc tọa độ O. Kết quả : m= 3 .
c) Đối xứng với N(5;20) qua Ox. Kết quả : m= 5 .
d) Đối xứng với P(7;42) qua Oy. Kết quả : m= 7 .
V. TIỆM CẬN
82)Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số :
a) y =
2x3x
1x2
2
2
+−
−
. Kết quả: x = 1; x = 2 và y = 2
b) y =
2x
1xx
2
+
+−
. Kết quả : x = 2 và y = x
83) Tìm các đường tiệm cận ngang của đồ thị các hàm số :
a) y = 1+
x
2
e
−
. Kết quả: y = 1
b) y =
x
1xx
2
++
. Kết quả: y = ±1
84) Tìm các đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y =
1x
2
+
.Kết quả : y = ±x
85) Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số: y =
3
32
xx3 −
. Kết quả : y = x+1.
86) Cho (C
m
) :
( )
1x
mmx1mx
y
222
+
++++
=
.
a) Biện luận m số tiệm cận của đồ thị (C
m
).
b) Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị (C
m
) đi qua I(1;2).
87)Tìm trên đồ thị (C):y =
1x
2x
+
+
điểm M có tổng các khoảng cách từ đó đến hai tiệm
cận là nhỏ nhất.
88) Lấy một điểm bất kỳ M∈(C):y = f(x) =
2x
1x3x
2
−
−+
. Chứng minh rằng tích các
khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận của (C) luôn không đổi. Kq: d
1
.d
2
=
2
9
.
VI. KHẢO SÁT HÀM SỐ
89) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số:
a) y = x
3
-3x+1 b) y = 3x
2
-x
3
c) y = x
3
+3x−4 d) y = (1-x)
3

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 10 - Soạn cho lớp LTĐH
e) y =
2
1
x
2
x
2
4
+−
f) y = x
4
+x
2
-2.
g) y=2x
2
−x
4
-1 h) y=x
4
-1
i) y =
1x
1x
−
+
j) y =
2x
x2
+
k) y =
1x
x
2
−
l) y =
2x
4
1x
+
−−

m) y =
x1
)2x(
2
−
−
n) y =
2x
1
2x
+
+−−
VII.CÁC BÀI TỐN LIÊN HỆ ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
90) Biện luận theo m số giao điểm của 2 đồ thị:
a) (C): y =
2x
3x6x
2
+
+−
và d: y = x−m. Hd: Lý luận x=
2
m8
3m2
−≠
−
+
b) (H):
1x
1x
y
−
+
=
và d: y= −2x+m. Hd: x=1 không là nghiệm phương trình hồnh độ
giao điểm.
91) A.Vẽ đồ thị (C) hàm số y = x
3
+3x
2
−2
B.Biện luận bằng đồ thị (C) số nghiệm của pt: x
3
+3x
2
−(m−2) = 0
92) Viết phương trình các đường thẳng vuông góc với đường thẳng y=
4
1
x+3 và tiếp
xúc với đồ thị (C) hàm số y= −x
3
+3x
2
−4x+2.
93) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y=x
3
+3x
2
+1 biết tiếp tuyến đi qua gốc
toạ độ O.
94) Dùng đồ thị (C): y = x
3
−3x
2
+1 biện luận theo m số nghiệm của phương trình x
3
−3x
2
− 9x+1−m = 0.
95) Cho parabol (P): y=x
2
−2x+2 và đường thẳng d: y=2x+m.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (P)
b) Biện luận theo m số điểm chung của d và (P).
c) Khi d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. Tìm tập hợp trung điểm M của đoạn
AB.
96) Cho hàm số
1x
1x
y
−
+
=
, có đồ thi (H).
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (H).
b) Cho đường thẳng d: y= −2x+m. Giả sử d cắt (H) tại hai điểm M và N. Tìm tập
hợp trung điểm I của MN.
97) Chứng minh rằng đồ thị (C) của hàm số y=f(x)=x
3
−3x
2
+1 nhận điểm uốn của nó
làm tâm đối xứng.
98) Cho hàm số y = x
4
−4x
3
−2x
2
+12x−1.
a) Chứng minh rằng đồ thị (C) của hàm số có trục đối xứng.
b) Tìm các giao điểm của (C) với trục Ox.
Hướng dẫn và kết quả:

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 11 - Soạn cho lớp LTĐH
a)Dự đốn trục đối xứng của đồ thị (C) : Tìm đến y
(3)
và cho y
(3)
= 0 , tìm được
nghiệm x=1 cũng là nghiệm của y’=0. Từ đó chứng minh x=1 là trục đối xứng của
(C).
b) Cho Y= 0, tìm được X=
104
±±
⇒ y=0 và x =1
104
±±
.
99) Chứng minh rằng (C): y =
1x
3x
+
−
có hai trục đối xứng.
Hướng dẫn và kết quả: Tâm đối xứng là I(−1;1). Suy luận có hai đường phân giác
y=−x và y = x+2 của các góc tạo bởi 2 tiệm cận là trục đối xứng của (C). Chứng
minh hai đường thẳng này là hai trục đối xứng của (C).
100) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C): y =
2x
2x
+
−
. Từ đồ thị (C) đã vẽ, hãy suy
ra đồ thị của các hàm số:
a) (C
1
): y = f
1
(x) =
2x
2x
+
−
b) (C
2
): y = f
2
(x) =
2x
2x
+
−
c) (C
3
): y = f
3
(x) =
2x
2x
+
−
d) (C
4
): |y| = f
4
(x) =
2x
2x
+
−
e) (C
5
): y = f
5
(x) =
2x
2x
+
−
f) (C
6
): |y| = f
6
(x) =
2x
2x
+
−
101) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số : y = f(x) = x
3
−3x
2
+2.
b) Từ đồ thị (C), suy ra đồ thị (C’): y = g(x) = | x|
3
−3x
2
+2. Từ đó biện luận theo
m số nghiệm của phương trình: | x|
3
−3x
2
+1 − m = 0.
102) Chứng tỏ rằng (C
m
): y=x
2
+(2m+1)x+m
2
−1 (1) luôn tiếp xúc với một đường
thẳng cố định. Xác định phương trình đường thẳng đó.
Lời giải 1:
1. Dự đốn đường thẳng cố định:
Cách 1: Chuyển (1) về phương trình m
2
+2xm+x
2
+x−1−y=0, phương trình này có
∆= (x)
2
−1.(x
2
+x−1−y)=0 ⇔ −x+1+y=0 ⇔ y= x−1 là đường thẳng cố định.
Cách 2: Chuyển (1) về phương trình m
2
+2xm=−x
2
−x+1+y (2)
Lấy đạo hàm 2 vế theo m: 2m+2x=0 ⇔ m=−x, thay trở lại (2):y=x−1 là đường
thẳng cố định.
2. Chứng tỏ (C
m
) tiếp xúc với đường thẳng cố định: ( Bắt đầu lời giải)
Phương trình hồnh độ giao điểm của (C
m
) và d:y=x−1 là:
x
2
+(2m+1)x+m
2
−1=x−1 ⇔ x
2
+2mx+m
2
=0
⇔ (x+m)
2
=0 ⇔ x=−m (nghiệm kép)
Vậy (C
m
) luôn tiếp xúc d:y=x−1.
Chú ý: Chỉ có đường thẳng và đường bậc 2,mới có khái niệm “ 2 đường tiếp xúc nhau
⇔
phương trình hồnh độ giao điểm ( bậc 2 ) có nghiệm kép” .
Trong các hàm số khác và hàm bậc nhất ta phải dùng hệ điều kiện tiếp xúc.
Lời giải 2:

Gọi d: y=ax+b là đường thẳng cố định. d tiếp xúc (C
m
) khi và chỉ
khi phương trình hồnh độ giao điểm có nghiệm kép với mọi m:
x
2
+(2m+1)x+m
2
−1= ax+b⇔ x
2
+(2m+1−a) x+m
2
−b−1=0 có nghiệm kép với ∀ m

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 12 - Soạn cho lớp LTĐH
⇔ ∆ =(2m+1−a)
2
−4.1(m
2
−b−1)=0 với ∀ m⇔−4(a−1)m+(a−1)
2
+4b+4=0 với ∀ m
⇔



=++
=−
044b1)-(a
01a
2
⇔



−=
=
1b
1a
.
Vậy d:y=x−1 là đường thẳng cố định mà (C
m
) luôn tiếp xúc.
103) Chứng tỏ rằng (C
m
): y=
mx
mmx)1m3(
2
+
+−+
(1), m ≠ 0 luôn tiếp xúc với hai
đường thẳng cố định. Xác định phương trình hai đường thẳng đó.
1. Dự đốn các đường thẳng cố định: Biến đổi (1) về phương trình bậc hai ẩn m:
m
2
+(y−1−3x)m+(y−1)x=0 (2), đặt t=y−1 ta có phương trình: m
2
+(t−3x)m+tx=0(3)
Phương trình (3) có ∆=0 ⇔ (t−3x)
2
−4tx=0 ⇔ t
2
−10xt+9x
2
=0⇔ t=9xV t=x.
Thay t=y−1,suy ra hai đường thẳng d
1
:y=9x+1, d
2
:y=x+1 cố định tiếp xúc (C
m
)
2. Chứng tỏ (C
m
) tiếp xúc với d
1
, và tiếp xúc d
2
: ( Bắt đầu lời giải)
• d
1
:y=9x+1 tiếp xúc (C
m
) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:







=
+
+=
+
+−+
9
)mx(
m4
1x9
mx
mmx)1m3(
2
2
2
⇔ (3x+m)
2
=0 ⇔ x= −
3
m
Vậy d
1
:y=9x+1 tiếp xúc (C
m
) tại điểm có hồnh độ x= −
3
m
(m ≠ 0).
• Tương tự : d
2
:y=x+1 tiếp xúc (C
m
) tại điểm có hồnh độ x= m (m ≠ 0).
104) Chứng tỏ rằng (C
m
): y=mx
3
−3(m+1)x
2
+x+1 luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố
định tại một điểm cố định.
Hướng dẫn giải: Tìm được (C
m
) đi qua hai điểm cố định A(0;1) và B(3;−23) và tiếp
tuyến của (C
m
) tại A có phương trình y=x+1 là tiếp tuyến cố định.
105) Chứng tỏ rằng (d
m
): y=(m+1)x+m
2
−m luôn tiếp xúc với một parabol cố định.
Hướng dẫn giải: Dùng phương pháp 1, dự đốn (P):y=
4
1
x
2
3
x
4
1
2
−+−
là parabol cố
định và chứng tỏ (d
m
) tiếp xúc (P) tại x=1−2m.
VIII.TÍCH PHÂN
106) Cho f(x)=
3
2
)1x(
3xx
−
−+
, tìm A, B và C sao cho:
f(x)=
1x
C
)1x(
B
)1x(
A
23
−
+
−
+
−
. Kq: A= -1; B=3 và C=1
2) Từ đó tính
dx
)1x(
3xx
3
2
∫
−
−+
107) Tính
dx
)2x(
2xx
3
3
∫
−
−+
108) Tính
∫
+−
−
2x3x
dx)3x2(
2


Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 13 - Soạn cho lớp LTĐH
109) Tính
∫
−1x
dxx3
3
2
110) Tìm A, B , C để sinx−cosx+1= A(sinx+2cosx+3)+B(cosx−2sinx) +C
Kq: A=
5
1
−
; B=
5
3
−
và C=
5
8
111) Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
Hàm số Kết quả Hàm số Kết quả
a) y=
x
1x +
b) y=2
2
x
sin
2
)1
3
x
(x2 +
+C
x−sinx+C
c) y=
xcos.xsin
1
22
d) y=
xsinxcos
x2cos
+
tgx−cotgx+C
sinx+cosx+C

112) Tìm nguyên hàm F(x) của f(x)= x
3
−x
2
+2x−1 biết rằng F(0) = 4.
Kết quả: F(x) =
3
x
4
x
34
−
+x
2
−x+4
113) Tính đạo hàm của F(x) = x. l nx-x , rồi suy ra nguyên hàm của f(x)= l nx.
Kết quả: F(x) = x. l nx-x+C
114) Tìm A và B sao cho với mọi x≠ 1 và x≠2 , ta có:
1x
B
2x
A
2x3x
1x
2
−
+
−
=
+−
+

Từ đó, hãy tìm họ nguyên hàm của hàm số:
2x3x
1x
)x(f
2
+−
+
=
Kết quả: A=3; B= −2. F(x) = 3 l nx−2−2 l nx−1+ C= l n
2
3
)1x(
2x
−
−
+C
115) Tính các tích phân:
Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả
a)
∫
dx.gxcot
b)
∫
dx.xgcot
2
c)
∫
xdxcos.xsin
2
l nsinx+C
−cotgx−x+C
3
1
sin
3
x+C
d)
∫
dx
xln.x
1
e)
∫
+3xcos2
e
.sinxdx
f)
∫
xsin
dx
l n l n x+C
3xcos2
e
2
1
+
−
+C
l n
2
x
tg
+C
116) Tính các tích phân:
Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả
a)
∫
+
2
1
2
2
dx
x2
2x
b)
∫
+
3
1
2
dx
x
x4x
1
12
4
e)
∫
π
π
−
3
4
2
2
dx
xcos
xgcot23
3
15311 −
2
223 −+

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 14 - Soạn cho lớp LTĐH
c)
∫
−
−
2
2
2
dx|1x|
d)
∫
π
4
0
2
xdxtg
4
4 π−
f)
∫
π
π
−
4
6
2
3
dx
xsin
xsin1
g)
∫
π
2
0
2
xdxcosxsin
3
1
117) Tính các tích phân:
Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả
a)
∫
+
1
0
1x
dx
b)
∫
−
2
1
2
)1x2(
dx
c)
dx
1xx
2x4
1
0
2
∫
++
+
d)
∫
π
4
0
tgxdx

e)
∫
+
2ln
0
x
x
3e
dxe
f)
∫
π
2
0
3
dx.xcos
ln2
3
1
2ln3
ln
2
ln
4
5
3
2
g)
dx
xcos31
xsin
2
0
∫
π
+
h)
∫
π
π
2
6
2
3
dx.
xsin
xcos
i)
∫
π
π
−
+
2
3
dx.
xcosxsin
xcosxsin
j)
∫
+−−
1
0
2
dx.1xx)1x2(
k)
∫
e
1
2
dx
x
xln
3
2
ln2
2
1
ln(
3
+1)
0
3
1


Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều

Xem chi tiết: Tài liệu Giáo Trình Giải Tích 12 pptx